Đề 1
Thu gọn biểu thức

b)

c)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

b)
c)
(HD: b) Tìm tập xác định; qui đồng khử mẫu; giải phương trình; so sánh đk trả lời)
Cho phương trình

Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
với mọi
.
Tìm giá trị của
để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Chứng minh biểu thức
không phụ thuộc
.
Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm
không phụ thuộc
. (HD: c) dùng viet tính được M là một số cụ thể; d) chính là câu c).)
Một lớp học có 40 học sinh được xếp ngồi đều nhau trên các ghế băng. Nếu ta bớt đi hai băng ghế thì mỗi băng ghế còn lại phải xếp thêm một học sinh. Tính số băng ghế ban đầu. (HD: Tính số học sinh ngồi trên một ghế trong 2 trường hợp).
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng xy cách tâm O một khoảng

. Từ điểm A thuộc xy (OA>R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (B và C là hai tiếp điểm, O và B nằm cùng một phía đối với xy)
Chứng minh rằng đường thẳng xy cắt (O) tại 2 điểm D và E.
Chứng minh rằng 5 điểm O, A, B, C, K cùng nằm trên một đường tròn, xác định vị trí tâm đường tròn qua 5 điểm đó.
BC cắt OA, OK theo thứ tự tại M, S. Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp, định vị trí tâm đường tròn (AMKS) và chứng minh
.
Chứng minh BC quay quanh một điểm cố định và M di động trên một đường tròn cố định khi A thay đổi trên xy. (HD: Chứng minh
suy ra S là điểm cố định; M chạy trên đường tròn đường kính OS).
Xác định rõ vị trí tương đối của SD, SE đối với đường tròn (O). Tính theo R diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi 2 đoạn SD, SE và
của đường tròn (O) khi biết
. (HD: Ta có
suy ra tam giác DKO đồng dạng tam giác SOD. Suy ra
; diện tích hình phẳng cần tính bằng
trừ
.
Đề 2
Thu gọn biểu thức:

b)
c)

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

b)
c)
(HD: b) Dưa về dạng phương trình bậc 2; c) dùng phương pháp thế hoặc viet)
Cho
và

Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán.
Tìm m để đường thẳng
tiếp xúc với (P)
Tìm chu vi hình chữ nhật biết chiều rộng bằng
chiều dài và diện tích là
.
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB=2R và điểm C thuộc nửa đường tròn (AC>CB). Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Đường tròn tâm K đường kính CH cắt AC, BC lần lược tại D, E và cắt nửa đường tròn (O) tại F (F khác C).
Chứng minh
.
Chứng minh CA.CD=CB.CE và tứ giác ABED nội tiếp. (HD: Hệ thực lượng; tam giác CED đồng dạng tam giác CAD theo trường hợp c.g.c; suy ra góc
suy ra nội tiếp).
CF cắt AB tại Q. Chứng minh QK vuông góc OC. (HD: Chứng minh
suy ra K là trực tâm tam giác COQ)
Chứng minh Q là giao điểm của DE và đường tròn (OKF). (HD: Chứng minh
bằng cách
;
suy ra DE đi qua Q, chứng minh
suy ra tứ giác OKFQ nội tiếp.)
Tính khoảng cách từ O đến DE biết
. ( Gọi I là giao điểm của DE và OC. Đặt
, ta có
; tính được
).
Đề 3
Thu gọn biểu thức:

b)
c)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

b)
c)
(HD: c) Dùng phương pháp thế)

Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là -16 và 64.
Lập một phương trình bậc hai theo ẩn x biết hai nghiệm của phương trình là:
. (HD: a) Dùng pp thế hoặc viet; b) Pt cần tìm có dạng
).
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và ABChứng minh AD.AC=AE.AB
Gọi H là giao điểm của BD và CE, gọi K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AH vuông góc với BC.
Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm. Chứng minh
.
Chứng ba điểm M, H, N thẳng hàng. (HD: C/m
bằng cách xét 2 tam giác đồng dạng và tương tự ta có
suy ta tổng góc bằng
, suy ra thẳng hàng).


Đề 4
Cho biểu thức:

Rút gọn biểu thức A. b)Tìm các giá trị của a sao cho A < 0. c) Tính giá trị của A khi


Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

b)
c)

Cho phương trình:
(1)
Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu.
Tìm m để phương trình (1) có tổng hai nghiệm bằng 6. Tìm 2 nghiệm đó. (HD: b) Tích 2 nghiệm cùng dấu luôn là số dương tức là
phải dương; c) Tổng 2 nghiệm bằng 6 tức là
)
Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 7 cm, độ dài của một đường chéo là 13 cm. Tính diện tích của hình chữ nhật. (HD: Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật thì ta có phương trình
).
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (ABChứng minh BD và CE là 2 đường cao của tam giác ABC. Suy ra AH vuông góc với BC tại F.
Chứng minh AD.BC=DE.AB.
Chứng minh FH là phân giác của góc DFE.
Cho
và
. Chứng minh tứ giác DEFO nội tiếp và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác này theo a. (HD: C/m
suy ra tứ giác nội tiếp. Gọi I là tâm của (DEFO); Kéo dài EI cắt đường tròn (DEFO) tại J.

Đề 5

Thu gọn biểu thức:

. c)
.

.
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

b)
c)
(HD: b) Tìm tập xác định; qui đồng khử mẫu; giải phương trình; so sánh đk trả lời).
Cho phương trình
.
Với giá trị nào của m thì phương trình trên có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Giải phương trình với m=-3
Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng -2. Tính nghiệm còn lại. (HD: Cho nghiệm bằng -2 dùng viet tính nghiệm còn lại)
Khoảng cách giữa 2 bến song A và B là 30km. Một cano đi từ A đến B nghỉ 40 phút ở B rồi trở về bến A. Thời gian kể cả đi lẫn về là 6 giờ. Tính vận tốc cano khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km. ( Thời gian xe chạy từ A đến B rồi về A bằng thời gian cả đi lẫn về trừ cho thời gian nghỉ).
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH) và hai tiếp tuyên BD, CE đến đường tròn (A;AH) (D, E khác H).
Chứng minh:
và
.
Chứng minh D, E đối xứng với nhau qua A và OA//BD rồi suy ra DE tiếp xúc với đường tròn (O) đường kính BC. (HD: Chứng minh D, A, E thẳng hàng bằng cách chứng minh
; Dùng đường trung bình của hình thang suy ra
).
Gọi M, N, K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và HD, AC và HE, BE và CD. Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp và KH//OA. (HD: C/m
suy ra tứ giác BMNC nội tiếp; Chứng minh
( dùng câu a)) dùng talet đảo suy và câu b) suy ra KH//OA).
Chứng minh rằng 3 điểm M, N, K thẳng hàng. (HD: Chứng minh
suy ra
; suy ra
suy ra M, K, N thẳng hàng).

Đề 6
Cho biểu thức:
(với
và
)
Thu gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để
.
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

b)
c)
(HD: a)Nhóm 2 đầu 2 cuối, phân tích nhân tử dưa về phương trình tích).
Viết phương trình đường thẳng (D) trong các trường hợp sau:

và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2.
qua 2 điểm A(-2;5) và B(-3;-4). c) (D) qua A(3;-2) và tiếp xúc với
. (HD: c) Gọi ptđt
do đi qua A ta có
(1) và do (D) tiếp xúc (P) ta có
(2) thế vào (1) ta có phương trình bậc 2 theo a giải tìm a; vậy có 2 đường thẳng cần tìm.)
Tính kích thước hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng chiều dài 2cm và tăng chiều rộng 5cm thì diện tích hình chữ nhật đó sẽ tăng thêm
, và nếu mỗi chiều giảm đi 2cm thì diện tích hình chữ nhật sẽ giảm đi
.
Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm). Vẽ các tuyến MAB không đi qua O, A nằm giữa M và B. Tia phân giác
cắt AB tại E.
Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh O, I, C, M, D cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh MC=ME. (HD: Chứng minh tam giác CEM cân tại M.)
Chứng minh DE là phân giác của
. (HD: Chứng minh
và
suy ra
suy ra được DE là phân giác của
.)
Chứng minh IM là phân giác của
. (HD: để ý
).
Đề 7
Thu gọn biểu thức:

. c)
.

.(HD: b)
).
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

. b)
. c)

(HD: b) Ta có


; c) Dùng pp thế).
Cho phương trình

Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp này. (HD:b) giả sử giả sử phương trình có 2 nghiệm
và
. Theo định lý viet ta có
(1) vì
nên ta có (1)

giải tìm được m; tính được nghiệm
)
Hai vòi cùng chảy vào một bể thì trong 4 giờ đầy bể. Nếu chỉ mở vòi thứ I trong 9 giờ, rồi mở vòi thứ II cùng chảy tiếp trong 1 giờ nữa thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể. (Đs: 12;6).
Cho đường tròn tâm (O) bán kính R. S là một điểm nằm ngoài đường tròn sao cho
. Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA và SB đến đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm).
Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp và tính độ dài AB.
Gọi I là giao điểm là giao điểm của SO và (O). Chứng minh I là trọng tâm của tam giác SAB. (HD: Chứng minh SK là trung tuyến của tam giác SAB và
).
Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, H là hình chiếu của A lên BD. Chứng minh SD đi qua trung điểm của đoạn thẳng AH. ( HD: Kéo dài DA cắt SB tai Q; Chứng minh S là trung điểm của BQ bằng cách chứng minh OS//DQ; chứng minh HA//BQ suy ra DS đi qua trung điểm của AH).
SD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh SO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAE. (HD: Chứng minh
. Suy ra KS là tiếp tuyến của (SEA).)
Đề 8

Cho


Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A với
và
. (HD: a)
b)
).
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

b)
(HD: a) đặt
thì ta có pt ban đầu tương đương
; tìm được t thế vào tính được
; đs:
; b) Ta có
suy ra ta có 2 hệ phương trình
hoặc
, giải 2 hệ phương trình trên ta tìm được
hoặc
)
Cho phương trình

Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm phân biệt
với mọi giá trị của m.
Tính giá trị các biểu thức
và
theo m.
Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất của A. (HD: Phân tích A tổng của bình phương cộng với một số dạng:
). Khi đó ta có
.
Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến B chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến B sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu. (đs: quãng đường 350km; thời gian dự định là 8 giờ).
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A với
. Vẽ tiếp tuyến AB